Đạo hàm hàm số ẩn mới nhất

1. Định nghĩa: Xét phương trình F(x,y) = 0 (1) , thường không giải được đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm xác định. Nếu như thì (1) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y gọi là hàm ẩn theo biến x trên E.

Bình luận:

1. Từ định nghĩa ta có:

2. Trường hợp với mọi x thuộc E thì phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x) thì ta nói phương trình (1) xác định hàm ẩn đa trị.

Ví dụ: Phương trình xác định 2 chức năng nên (1) xác định hàm ẩn đa trị.

2. Định lý:

Đặt phương trình F(x,y) = 0, trong đó là hàm hai biến x,y có đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U. Giả sử Nếu như thì (1) xác định trong một lân cận nào đó của một hàm ẩn duy nhất y = f(x), bằng Khi liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên

(Chúng tôi không chứng minh định lý này, bạn đọc có thể tham khảo cách chứng minh định lý trong sách Toán cao cấp tập 3 của tác giả Nguyễn Đình Trí. )

Vậy điều kiện để tồn tại hàm ẩn gồm các điều kiện sau:

1. F(x,y) là hàm hai biến có đạo hàm riêng liên tục.

2. Sự tồn tại

3.

Ví dụ: phương trình xác định một chức năng ẩn bởi vì xem xét: xác định cho x, y dương, hàm này có đạo hàm riêng liên tục và F(1,1) = 0 ,

3. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn một biến:

Nếu từ phương trình F(x,y) = 0 (1) xác định được một hàm ẩn y = f(x) thì ta có: F(x,f(x)) = 0 , tức là vế trái là a hàm hợp của biến x qua biến trung gian y. Do đó, chúng ta sẽ lấy đạo hàm của (1) đối với biến x bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm hỗn hợp.

Sau đó:

Nhưng nên suy ra:

Ví dụ: Đưa cho Tìm thấy ?

Coi như . Dễ thấy F(x,y) liên tục và F(0,0) = 0 nên phương trình xác định hàm ẩn y theo biến x.

Chúng ta có:

Vì thế:

Ghi chú: Phát hiện quan trọng vì nếu không sẽ dẫn đến tình huống phương trình vô nghiệm (ví dụ: ) nhưng vẫn có dy/dx ( – x/y) (!!!)

– Nói chung, đạo hàm dy/dx là một biểu thức liên quan đến x và y. Trong biểu thức đó ta phải coi y là một hàm theo biến x

Ví dụ 2: Tìm thấy Nếu như

Coi như (việc kiểm tra phương trình tồn tại hàm ẩn dành cho bạn đọc)

Sau đó chúng tôi có:

{ dfrac{d^2y}{dx^2}}

trên biến x, trong đó y là một hàm của x. Chúng ta có:

{ dfrac{d^2y}{dx^2}} = – { dfrac{2y.y_x^{‘}}{y^4}} = – { dfrac{2(1+y^2)}{ y^5}}

4. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 2 biến:

Sau đó: Nếu như

thì suy ra:

Tương tự: { dfrac{partial z}{partial y}}= – { dfrac{{ dfrac{{partial}F}{{partial}y}}}{ dfrac{{partial}F}{ {partial}z}}} (2.3)

Ngoài cách tính theo công thức trên ta có thể xác định các đạo hàm riêng bằng quy tắc lấy vi phân. Nghĩa là, tính tổng vi phân của hàm F(x,y,z) bằng cách sử dụng quy tắc vi phân và làm cho nó bằng 0:

Sau đó tìm dz theo dx và dy: dz = Adx + Bdy. Sau đó

Ví dụ: Tìm thấy Nếu như

Cách 1: ký hiệu vế trái của phương trình là F(x,y,z). Sau đó:

Theo công thức (2.2), (2.3) ta có:

Cách 2: Vi phân phương trình đã cho, ta có:

Hoặc:

Từ đó, chúng tôi tìm thấy dz:

So với công thức Chúng ta có:

Ví dụ 2: Cho xyz = x + y +z , tìm dz

Cách 1: Xét F(x,y,z) = xyz – x – y – z . Tôi tìm kiếm Theo các công thức (2.2), (2.3) ta có:

Nên:

Vì thế:

Cách 2: Vi phân hai vế của phương trình, ta có:

Từ đó, ta có:

Ví dụ 3: Đưa cho Tìm thấy

Chúng ta có:

theo quy luật hàm số. Chúng ta có:

Tương tự:

z_y^{‘}

z_y^{‘} = { dfrac{1}{e^z-1}} Sau đó nhập x_{xy}^{”} = { dfrac{e^z}{(1-e^z)^3}}

Ví dụ 4:

z – xe^{y/z} = 0

. Hãy tính gần đúng z(0,98 ; 0,01)

z(0,98 ; 0,01) approx z(1;0) + z_x^{‘}(1;0)(-0,02) + z_y^{‘}(1;0) (0,01 ) Nhưng:

Tại x = 1, y = 0, z = 1 Ta có:

Nếu nội dung, hình ảnh,… trong tài liệu Bài tập Vi phân hoàn chỉnh Đạo hàm riêng Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm ẩn liên quan đến vi phạm bản quyền, vui lòng nhấp vào bên dưới để cho chúng tôi biết.